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Matemáticas
Docente:
Lic. González, Cecilia Zulema
Programa de estudios
del curso de Nivelación en Matemática
El curso está dirigido a
alumnos que tuvieron muy poco o ningún curso de Matemática en sus
carreras de grado.
Los objetivos generales
de este curso son: que los alumnos
apliquen los resultados del Álgebra, Geometría y Cálculo Diferencial e
Integral a la descripción y solución de problemas y que puedan
transferir herramientas metodológicas
propias de la Matemática para la descripción, modelización y
resolución de problemas de otras disciplinas científicas y
tecnológicas.
Modalidades de
evaluación
Durante el curso se
realiza una evaluación continua consistente en la discusión y
resolución de problemas en forma grupal. Al finalizar el curso cada
alumno debe resolver y entregar un trabajo final con problemas
referidos a las unidades desarrolladas durante el curso. La
aprobación del curso se obtiene superando con éxito tanto la
evaluación continua como la evaluación del trabajo final.
Debido a la poca
formación en matemática de los cursantes, se incluye una primera
unidad de introducción a temas geométricos y algebraicos elementales.
Los demás contenidos del programa se presentan como herramientas para
describir y resolver problemas sin pretender un dominio del aspecto
formal de los mismos.
Contenidos
Introducción:
Polinomios. Operaciones con polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del
resto. Factorización de expresiones algebraicas.
Conjuntos en la recta y plano coordenado. Rectas en el plano.
Ecuaciones lineales. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas. Problemas. Ecuaciones de segundo grado. Logaritmos.
Teorema de Pitágoras. Triángulos rectángulos.
Unidad 1:
Sistema de coordenadas en el plano y en el espacio. Coordenadas de un
punto. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento.
Ecuaciones de ejes y planos coordenados. Lugares geométricos.
Ecuaciones en dos variables. Ecuación lineal: la recta. Ecuación de la
circunferencia. Gráfica - Resolución de ecuaciones por factorización,
bicuadradas y fraccionarias. Desigualdades
Unidad 2:
Matrices. Definición y operaciones con matrices. Propiedades.
Determinante de una matriz cuadrada. Desarrollo por filas y columnas.
Regla de Sarrus. Propiedades. Matriz invertible. Cálculo de la
inversa.
Unidad 3:
Sistemas de ecuaciones lineales. Notación matricial. Rango de una
matriz. Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones
lineales: teorema de Rouché-Frobenius.
Métodos de resolución.
Reducción del número de ecuaciones por sustitución. Regla de Cramer.
Método de eliminación de Gauss - Jordan. Método de la matriz
inversa. Interpretación de las soluciones. Métodos de resolución de
sistemas de ecuaciones mixtos. Problemas de aplicación.
Unidad 4:
Vectores en el plano y en el espacio. Definición y descripción
geométrica. Operaciones: suma y producto por un escalar.
Componentes. Componentes de las operaciones. Vector unitario.
Producto escalar,
propiedades. Angulo entre dos vectores. Ortogonalidad. Producto
vectorial, propiedades. Componentes del vector producto vectorial.
Unidad 5:
Función real de una variable real: definición, dominio, rango,
gráfica. Operaciones con funciones. Funciones trigonométricas.
Definiciones básicas. Gráficas de las funciones seno, coseno y
tangente y sus derivadas.
Definición de límite de
una función en un punto (no formal). Interpretación gráfica.
Propiedades. Cálculo. Límites laterales. Límite infinito y caso de
variable tendiendo a infinito. Continuidad en un punto. Definición.
Propiedades. Funciones continuas en un intervalo. Clasificación de
discontinuidades.
Unidad 6:
Derivadas:
Definiciones básicas. Cociente de Newton. Pendiente de la recta
tangente a una curva en un punto, interpretación geométrica y como
razón de cambio. Función derivada. Propiedades de las derivadas.
Derivadas de funciones elementales. Funciones compuestas. Derivada
de la función compuesta. Derivadas de orden superior.
Unidad 7:
Punto crítico. Punto máximo y mínimo absoluto. Máximo y mínimo
relativo.Funciones crecientes y decrecientes. Concavidad. Punto de
inflexión. Criterio de la derivada segunda.Análisis de la gráfica de
una función.
Unidad 8:
Función inversa. Definición. Gráfica de una función y de su inversa.
Derivadas de funciones inversas. Función exponencial. Definición.
Propiedades. Derivadas. Función logaritmo. Definición. Propiedades.
Derivadas. Función exponencial general. Definición. Propiedades.
Derivadas.
Unidad 9:
La integral indefinida. El problema inverso de la derivación.
Concepto de primitiva. Propiedades. Métodos de integración por
sustitución y por partes.
Unidad 10:
La integral definida. Sumas superiores e inferiores. Definición de
integral. Propiedades. Teorema del valor medio del cálculo integral.
Función integral. Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Regla de
Barrow.
Aplicaciones: Cálculo
de área entre dos curvas. Volumen de un sólido de revolución.
Integrales impropias. Definición, propiedades y cálculo.
Unidad 11:
Nociones sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Definición.
Clasificación. Solución. Problema de valor inicial. Variables
separables. Definición. Método de resolución. Ecuación homogénea.
Definición. Método de resolución. Ecuación diferencial lineal de
primer orden. Solución.
Aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales ordinarias.
Bibliografia:
Swokowski – “Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica” –
International Thomson Editores.
Leithold, L. – “Cálculo con Geometría Análitica” – Harla
Grossman, Stanley – Algebra Lineal – Mc Graw Hill
Zill, Dennis – Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado
Lipschutz, Seymour – Álgebra Lineal. Teoría y 600 problemas
resueltos – Mc Graw- Hill
James Stewart – Cálculo.
Conceptos y contextos. – International Thomson Editores
Serge Lang – Cálculo. – Addison Wesley Iberoamericana |
